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作者|張海潮（香港中學(xué)語文系退職博士）

來源|英語傳播，45卷2期，pp.12-17，好玩的英語獲授權(quán)轉(zhuǎn)載，在此謝謝！

如圖一所示,微分是求函數(shù)圖形上一點切線的斜率。

而當(dāng)時,積分則是求函數(shù)圖形下方,軸頂部之間的面積,如圖二所示,陰影部份代表介于,,軸和函數(shù)圖形之間的面積(注一)。在圖一的情形,求一條直線的斜率,還要曉得兩點,所以作法是在圖形上不僅點此外,另在附近取一點,如圖三所示(注二)。

先求線的斜率

之后再令趨近于,將所得的極限定為切線的斜率。式(1)一方面是圖一中割線的斜率,另一方面式(1)也代表當(dāng)變動到時,的平均變率(averagerateofchange),而當(dāng)時,式(1)的極限便是在點的頓時變率(Instantaneousrateofchangeat)。平均或是頓時變率的衡量可以針對任意的函數(shù),即便才能把握在的極限便可以從反求,這正是牛頓曾經(jīng)發(fā)覺微積分基本定律的發(fā)力點。牛頓首先將圖二改成圖四(注三)。

圖四圖四是連續(xù)函數(shù)的圖形從到這一段與軸之間的面積,在這一點,函數(shù)是高度,面積以函數(shù)表示。牛頓的看法是求面積函數(shù)在點的頓時變率。欲求的頓時變率,應(yīng)當(dāng)先求平均變率,所以牛頓考慮下邊的圖五(并見注三)。當(dāng)變化到時,從到的面積是而就是圖一中在底部的面積,所以平均變率等于。假如函數(shù)在上是常數(shù)的話,則這塊面積是一個以為高度的長圓形,如圖六所示：

在圖六的情形,不論的大小,都等于長矩形面積的高,令,自然得到對的頓時變率是此長圓形的高,即。通常而言面積這一塊并非長圓形而是形如圖七：

圖七在圖七中,令和分別是函數(shù)在上的最大值和最小值,則似乎有(注四)

當(dāng)時,和就會趨近,所以也會趨近,因而對的頓時變率是,或則說。這就是當(dāng)初牛頓發(fā)覺的微積分基本定律(注五)。依據(jù)此一定理,我們有下述推論：如圖二所示,令滿足,則圖一中的面積等于。成因是,由于如圖四,,倘若也等于,則,是一個常數(shù)(注六)。圖一中的面積等于,留意到,因此（向左滑動查看完整公式）

但是滿足微分是的函數(shù)并不惟一,并且由于這種“反微分”彼此只差一個常數(shù),在估算時,所差的常數(shù)自然會對消,所以并不重要(注七)。以下,我們補(bǔ)充當(dāng)不一定恒正時圖一中的面積函數(shù)應(yīng)當(dāng)怎樣定義。如圖八,當(dāng)在某一區(qū)段大于0時,從到,陰影部分的面積若是乘以,得到的“高度”是正的,而非(此處),所以一個合理的面積函數(shù)在圖一中應(yīng)當(dāng)計以負(fù)值,這么,而也大于0,使得當(dāng)時,會趨近于,也大于0。

圖八這么一來,只要將時的“面積”計以負(fù)值,則微積分基本定律仍舊設(shè)立,如圖九

圖九

函數(shù)有正有負(fù),當(dāng)時陰影部份面積以正計之,而時陰影部份面積以負(fù)計之,則總面積依然會等于,是的反微分(注八)。換句話說,只要將的部分,面積以負(fù)計,則微積分基本定律仍舊設(shè)立(運用的任一個反微分,圖九的陰影部分“面積”皆等于)。讀者不妨試試下邊這個函數(shù),其在這一段的“面積”計算。

圖十若以反微分代1和-1相乘，

（向左滑動查看完整公式）

恰是圖一中陰影部份面積取減號。

其實,微分是求函數(shù)圖形切線的斜率,積分是求圖形與軸之間的“面積”,這面積兩字還要打一冒號，來說明“面積”是要考慮正負(fù)的。惟有這么,微積分基本定律就會廣泛的創(chuàng)立。因而,或許如注八,得到“面積”為0時,緣由不過是正的面積和負(fù)的面積對消,一點也不奇怪。注一：0"data-formula-type="inline-equation">,從而處理函數(shù)圖形與軸之間的面積，今后，當(dāng)時,會引入“負(fù)的面積”的概念。并見注八。注二：代表一個微小的量，可正可負(fù)，雖然不能等于0，本文為了便于說明，均小于0。注三：莫里斯?克萊因著古今英語思想(MorrisKline，MathematicalThoughtFromeAncienttoModernTimes)中譯著第69頁再現(xiàn)了牛頓所畫的圖

圖中的記號"0"相當(dāng)于今天的。注四：在閉區(qū)間上有最大值和最小值，使得當(dāng)時,最大和最小值均趨近。注五：通常覺得萊布尼茲亦獨立發(fā)覺此定律。注六：的函數(shù)也稱是的反微分或反導(dǎo)函數(shù)，的所有反微分互相只差一個常數(shù)高中微積分公式，圖一中的面積函數(shù)是的一個非常的反微分，它滿足。注七：方程的反微分是高中微積分公式，是任意常數(shù)。三角函數(shù)的反微分是,是任意常數(shù)。下邊二個函數(shù)圖形陰影部分的面積分別是和。

注八：簡言之，若面積在軸底部以正計，在軸下方以負(fù)計，則“面積”仍然等于。式中是函數(shù)的反微分。以為例,右圖的面積0。此刻若取,則亦等于0。